求解微分方程

常规方法

将 $y'$ 换成 $\frac{dy}{dx}$ ，将 x 和 y 分离到方程两边再积分 $ x y' - y lny = 0 $

$ \to \frac{dy}{y lny} = \frac{dx}{x} $

$\to \int \frac{dy}{y lny} = \int \frac{dx}{x} $

$\to ln|ln|y|| = ln|x| + C \to y = e^{Cx} (C \in R)$

齐次方程

形如 $P(x)y' = Q(x) \quad P(x), Q(x)$ 齐次，并且可将 $\frac{dy}{dx}$ 化成 $\phi(\frac{y}{x})$ 形式，称其为齐次方程

令 $\mu = \frac{y}{x} $ 有 $\frac{dy}{dx} = \phi(\mu) \quad \frac{dy}{dx} = \frac{d(\mu x)}{dx} = u + x\frac{d\mu}{dx} $

有 $\phi(\mu) = u + x\frac{d\mu}{dx} \to \frac{d\mu}{\phi(\mu)-\mu} = \frac{dx}{x} {(*)} $

再对 $(*)$ 两边积分

可化为齐次方程

形如 $P(x)y' = Q(x) \quad P(x), Q(x)$ 非齐次，且 $\frac{dy}{dx} = \frac{Q(x)}{P(x)} = \frac{a_1 x+b_1 y+c_1}{a_2 x+b_2 y+c_2} $，其中 $c_1*c_2 \not= 0 $，则为非齐次方程

令 $\quad x=X+h, y=Y+k \to dx = dX ; dy=dY $

$ \frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX} = \frac{a_1 X + b_1 Y + a_1 h + b_1 k + c_1}{a_2 X + b_2 Y + a_2 h + b_2 k + c_2} $

令 $ a_1h+b_1k+c_1 = 0 ， a_2h+b_2k+c_2 = 0$

若$ \frac{a_1}{a_2} \not= \frac{b_1}{b_2}$ 可解出 $h, k \to \frac{dY}{dX} = \frac{a_1X+b_1Y}{a_2X+b_2Y}$，带入 2. 中解决
若 $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}, h, k$ 无解

令$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \lambda $

$ \frac{dy}{dx} = \frac{ax+by+c_1}{\lambda (ax+by) + c_2} ;$

令 $v = ax + by \to \frac{dv}{dx} = a + b\frac{dy}{dx} $

$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{b}(\frac{dv}{dx} - a) = \frac{v + c_1}{\lambda v + c_2} 可分离变量$

$y' + P(x)y = Q(x)$ 型

$y = Ce^{-\int P(x)dx} + e^{-\int P(x)dx}\int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx $

当 $Q(x) = 0 \quad y = Ce^{- \int{P(x)dx}} $

$y^{(n)}=f(x)$ 型

对 $f(x) $ 积分 n 次得出 y

$y'' = f(x, y') $ 型

令 $y' = p \to p' = f(x, p) $ 得到一阶微分方程

$(1+x^2)y'' = 2xy' $

令$ y' = p \to (1+x^2)p'=2xp$

$\to (1+x^2)\frac{dp}{dx} = 2xp $ $\to \frac{dp}{p}=\frac{2x}{1+x^2}dx $ $\to ln|p| = ln(1+x^2) + C $ $\to y' = C'(1+x^2) $ $\to y = C _ 1(x+\frac{x^3}{3}+C _ 2)$

$y'' = f(y, y') $ 型

令 $y' = p $ 由 $y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy} \to p\frac{dp}{dy} = f(y, p) $

$p' _ y = \frac{1}{p} f(y, p) $ 求解

$y'' + py' + q y = 0 $ 型

令 $y=e^{rx} \to r^2 + pr + q = 0 $ 求解 r

$ \Delta \gt 0 \to \qquad \qquad y=C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} $ $ \Delta = 0 \to \qquad \qquad y = (C_1 + C_2x)e^{rx} $ $(*)$ $ \Delta \lt 0 \to \qquad \qquad y = e^{\alpha{x}}(C_1cos\beta{x} + C_2sin\beta{x})$

推广：

$f(y^{(n)}, y^{(n-1)}, ... y) = 0 $ 的特征方程 $r^n + a_1 r^{n-1} + ... + a_n = 0 $

有 n 个复数域根，由 $(*) $ 式组合出通解 y

例如 $n=4, r_1=r_2=2, r_3 = 3, r_4 = 1+2i $

$y = C_1e^{3x} + (C_2+C_3x)e^{2x} + e^{x}(C_4cos2x + C_5sin2x) $

解的结构

$y_1(x), y_2(x) 为特解，且 \frac{y_1(x)}{y_2(x)} \not\equiv c(常数) \to y = c_1y_1(x) + c_2y_2(x) 为通解 $

非齐次方程的通解 = 齐次方程通解 + 非齐次方程特解

有 $f(y^{(n)}, y^{(n-1)}, ... y) = g_1(x) + g_2(x) $ $ f(y^{(n)}, y^{(n-1)}, ... y) = g _ 1(x) \qquad \quad \quad$ $ f(y^{(n)}, y^{(n-1)}, ... y) = g _ 2(x) \qquad \quad \quad$

其中 $y^_1(x), y^_2(x) $ 是 $f = g _ 1(x)$ 和 $f = g _ 2(x)$ 的特解，那么 $f = g _ 1(x) + g _ 2(x)$ 的特解是 $y^_1(x)+y^_2(x) $

特殊的非齐次微分方程

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